尺规作图三大未解难题

  尺规作图是我们刚刚接触到的一种新的作图方法，然而，世界上有三个关于尺规作图的不能问题。

 一、三等分角问题：这个问题指的是：三等分一个任意角。纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。但是经过了那么多年，这个问题始终没有被解开，并被数学家们证明了此问题为尺规作图不能问题之一。

现已证明，在尺规作图的前提下，此题无解。

二、倍立方问题：这个问题指的是：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍，传说中，这问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了西腊第罗斯岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接著人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。

开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等於已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等於已知正方体体积的2倍，还会难吗?结果，……但是，柏氏门徒当时倒有两件差点成功的作法，但最终还是以失败告终。于是，这个问题也被数学家们列为尺规作图不能问题之一。

三、化圆为方问题：化圆为方问题（problem of quadratureof circle）是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一，即求作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。其难度 在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的 尺）和圆规。最早研究这问题的是安纳萨戈拉斯，他因「不敬神」的罪名被捕入狱，在狱中 潜心研究化圆为方问题，可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有希波克拉底、安提丰 、希皮亚斯等人。

化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。１８８２年法国数学家林 德曼（１８５２－１９３９）证明了π是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能 的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数 。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此不可尺规作图。

人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作;另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢?

人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就。