数学教学的另一种粮食——数学思想

数学教学内容贯穿着两条主线，数学基础知识和数学思想方法.数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系.数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要教师加以分析、提炼才能使之显露出来.数学知识是对生活的提炼，数学思想方法是对数学知识的提炼.

美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”.在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识.因此在数学教学中要不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透，掌握数学思想方法是数学学习的最高境界.

在初中数学的教学过程中，我发现有些学生在进行方程运算的时候，当一个数字或运算项从等号的一边移到等号的另一边的时候往往忘了“变号”，就是说忘了改变数字或项前面的加减号或正负号.原先以为这只是孩子们粗心马虎所造成的，因此在教学过程中把重点放在了提醒学生认真仔细计算方面.
    然而，越来越多的案例让我发现，这不仅仅是因为学生的粗心马虎造成的，而是因为学生们没能真正理解一个等式所包含的深层意义。例如，我在纠正一个数学成绩还不错的学生的这种错误的时候，他迷惑地说：“老师，为什么一个数字从等号这边移到等号的另一边就要将它的前面的加减号改得与移动前完全相反呢他甚至还打比方说：“如果我从一座桥的西端走到东端，难道我就从男生变成了女生了吗？”当时我没有太在意这个学生的问题，只是告诉他这是运算法则的要求，不这样做就是错的.过后便忘记了。
     有一次，我在书店中不经意间翻到一本书，作者在书的前言中提出“努力渗透基本的数学思想方法”，“培养辩证全面地考虑问题的习惯”，让读者知道通过基础知识这些“枝叶”，去让学生理解蕴藏于其中的“数学思想方法”.
     看到这种观点的时候，我突然想起来那个学生的话.显然他不理解为什么要这么做，而他又试图去理解，他是想在理解的基础上改正自己经常犯的错误。而我却没有及时地给他以正确的引导，只是从运算规则的角度让他仔细认真，不再犯类似的错误.
    此后，在这个问题的教学中，我除了教给学生们等式运算的概念和规则外，更加侧重引导学生能更深入理解这样做的理由——因为只有这样做才能保持等式的等量关系.如果不将移动的数字或者项前面的加减号或者正负号改为与移动前相反的状态，那么就改变了“等式”的特性，破坏了等号两边的等量关系.等式的两边体现的是一种平衡、对等.往更深里说，等式体现了一种公正平等的精神.如果不对移到等式另一边的数字或者运算项前的符号加以相反的改变，那么就破坏了这种平衡和对等，等式便不再是等式了，是对公正平等精神的人为破坏.在平时的等式运算教学中对教学内容进行这样的延伸后，我发现学生们在这个问题上犯错误的比例降低了很多.
    这个例子也让我更深刻地意识到我们数学教学工作的一个问题，那就是我们的教学几乎将全部重点放在了对学生进行数学知识和方法的教授上，而忽视了对其中的数学思想和数学精神的挖掘，而这正是帮助学生加深理解、提高数学学习能力的关键.
    初中数学思想方法主要有：化归思想、优化思想、符号化思想、集合思想、函数思想、极限思想、分类思想、概率统计思想等；归纳与演绎，分析与综合，抽象与概括，联想与猜想等方法.突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓.那么如何抓住这些方法呢？

一、形象的数形结合的思想

在数学教学中，“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象.突出数形结合思想，将抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受；将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力.

例如：八年级上学期，学习完全平方公式时，我们是借助图形来得到公式的，后面又应用公式来解决图行问题：你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？

二、常用的分类讨论思想

初中数学中的分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想．分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.在初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，在教学中就需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想.

例如：解不等式 (k-1)x＞k2-1

如果不加区分，得x＞k+1，那就不对了，因为既可以k-1＞0，或k-1=0，也可以k-1＜0.不同的情况下有不同的答案.正确的解答应该如下：

解：当k-1＞0 即k＞1时，则x＞ k+1

当k-1=0  即k=1时，原不等式为0·   x＞0，不等式无解

当k-1＜0 即k＜1时，则 x< k+1

综上所述：当k＞1时，x＞k +1；当k=1时，不等式无解；

当k＜1时  x<k+1

三、化繁为简的转化思想

数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化的思想，例如：在解一元二次方程时，将“二次问题”转化为“一次问题”；解分式方程时，将“分式方程”转化成“整式方程”；解斜三角形（多边形）时，将其转化为解直角三角形；将异分母分式加减法转化为同分母的加减法.

例如：（1）x²-8x+7=0   （2）x²+4x+1=0

解：（1）x²-8x+（-4）²+7-（-4）²=0  

（x-4）²=9

            x-4=±3

即x₁=7，x₂=1

       （2）x²+4x=-1  x²+4x+2²=-1+2²

           （x+2）²=3即x+2=±

            x₁=-2，x₂=--2

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

四、函数的思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.初中数学要求我们教学中重视函数的思想方法的教学.虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到七、八年级数学教材的各个内容之中.因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培养函思想方法.例如进行求代数式的值的教学时，通过强调解题的第一步“当……时”的依据，渗透函数的思想方法——字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。通过引导学生对以上问题的讨论，将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会，这就是发展函数思想的重要途径.

    其实,在平时的数学教学中注重数学思想的培养,不仅仅能提高学生的数学学习成绩和学习能力,更主要的是可以培养学生的数学精神,通过接受数学精神的熏陶,帮助学生养成更加完善的人格.“数学精神,既指人类从事数学活动中的思维方式、行为规范、价值取向、理想追求等意向性心理的集中表征,又指人类对数学经验、数学知识、数学方法、数学思想、数学意识、数学观念等不断概括和内化的产物.”
    在教学实践中注重对学生数学思想和数学精神的培养,有助于帮助我们的数学教育从以发展智力为中心向智力和非智力协调发展的转变,有助于引导数学教育由短期功利性向终身素质教育的转变,有助于促进从单纯提高数学知识水平向数学素质教育和人文素质教育有机整合的转变.
    在数学教学的实践中,注重学生数学思想和数学精神的培养,可以使学生真正理解和驾驭数学；学生在理解的基础上学习数学,其数学成绩和学习效果也会得到真正的提高.因此,我们在数学教学中有必要将包括数学思想方法、数学意识、数学观念在内的数学精神融入数学课程和数学课堂教学中.