《盗梦空间》Inception中的数学原理和逻辑

　　见有自称是数学系专业本科生说Inception让人想到了数学中的求导运算，梦和醒其实就是求导和逆运算。我觉得有些牵强。的确Inception中其实大量运用了数学知识，但许多的确超出一般人的数学知识范围，甚至是所谓的数学专业的。这也恐怕正是很多人看不懂它的原因吧。Inception中许多假设和现像其实都来源于现代数学中几何研究。主要的就是流形(manifold)。　　 　　

　　一些观众看过之后，觉得Inception很玄，而且许多地方不合逻辑。但在我看来，很少有比Inception结构更严谨的剧本了。Inception的结构就像一部论文一样，而且还是证明式的。它其本上分作三段。第一段是从开始到Leo遇到萝莉为止。这一段是描述问题。第二段是Leo教小萝莉。这段是提出基本原理和依据。第三段是潜入梦中一段，这段其实是论证部分，并推导出结论。 　　

　　整个故事高潮是第三部分，但故事逻辑的核心的第二部分。这一部分许多观众说感觉沉闷，像是在上课。的确如此，因为故事的核心其实是靠对话对出来的，而且更像是示教式的。为什么是这样呢？因为如果用上课这种最容易明白的方式讲给你听你还不懂的话，你就没有没法懂这片子了。让我们来看看这段中的几个问题。第一个问题：为什么要潜入梦中去呢。Leo讲，潜入梦中可以改变一个人的想法。一个人就是一个想法。想法变了，它就不是它了。（这种放之四海皆准的道理居然有人不知道）第二个问题：怎样骗过人呢？Leo讲：人在醒的时候，其实有一段时间是根本分不清梦中的是真的，还是眼前的是真的。它实际是通过一些标准来判断是己是不是在现实中。　　

　　这其实就是整个电影的最关键。也是整个论文的题目和基本假设。那么Leo是怎么做到的呢，Leo说他是靠陀螺。如果它转不停，就是在梦境中，如果它能停下来，就不是在梦境中。许多观众看到这很容易懂。实际上我要问，这说明什么？梦境有什么特点？

　　接着Leo教小萝莉造梦的时候，把世界整个上下对折，形成了一个盒子壮的结构。观众们被眼前的景象惊呆了。这又说明什么？如果世界变成这样了，梦中人一眼就能看出来不对， Leo为什么展示这种世界呢？

　　还有另一小帅哥教小萝莉的时候，让她走了一段楼梯，走了四段，一直向感觉向上，实际上走了一个死圈。导演想说明什么呢？说到这份上了还不明白嘛？

　　那还有呢？最开始的时候，Leo试小萝莉的智商，让小萝莉画迷宫。小萝莉先画了两个迷宫，Leo一下就走出来了，但第三个Leo没走出来。有什么特点呢？在头二个迷宫都是有棱有角的，第三个迷官是在画圈。这是在说什么呢？

到这为止，Leo充分展示了机智，概括起来就把人困在梦里的方法就是让人跑圈。按照数学上的语言来说，Leo认为真实的世界应是欧式空间，而梦中的世界是非欧式空间。导演诺兰是建筑迷，免不了的也是几何迷，他其实是给观从上了一堂示例教学的几何课。

我们的空间是三维的，如果你把时间算进去就是四维的，如果时间这个维度上画圈，那个陀螺就转不停了。而其它的那个例子其实都是低维度的非欧空间的示例。在一维度上，欧式空间就是直线，非欧空间可以是圆圈。在二维度上，欧式空间是平面，非欧式空间可以有多种，一种就是那个楼梯，如果没记错的话是乌比斯环面，这个很怪的，因为这个二面相通，分不出正反面来。另一种就球面，就是世界上下对折。实际上还有许多种，如圆环表面，环面，圆柱，还有克莱因瓶。至于三维的，情况更多，但是只有在四维空间中才可见，如果你能想明白，你可以搞相对论。多好的一堂几何课啊！

　　接下来一个问题，为什么要玩非欧空间。这个道理很简单，造梦师能想到的东西是有限的，如果你想把人困住，就要给它一种无限的错觉。如果你把被骗的人想成是一只小虫子的话，只能在二维的世界中到处跑。如果是欧式空间的话是个平面，设计的梦是有限，你只能设计一个很大的圆。那这只小虫总有一天会跑这个圆的。但是如果这是一个球面的话，就不一样了，不管小虫如何跑，都跑不出这个球表面。

　　引申一个问题测一下你的理解，小帅用的是色子，小帅怎么来验是不是在梦中呢？答，如果在梦中，小帅的色子数会以周期性重复。

　　这些几何结构其实叫流形，流形跟欧式空间的区别就是局部相似，全局上不同。以一维为例，一维的欧式是直线，非欧的是圆。如果你取出直线的一部分，再取出圆上的一部分，你得到线段和圆弧。如果线段比较短，或是圆的半径比较大的话，这两者的差别就非常小，你就分不出业。所以，如果你只看那陀螺一眼，或是只走一段楼梯，或是只生活在对折世界中的一部分的话，你是发现不了不同的。但是在全局上，有则本质的区别。直线向二端无限申展，而圆只能重复自己。片中前者是真实世界，后者就是梦中了。

　　实际上这件事玩数学的己经知道了有二三百年了，最开始想这个问题的人其实是高斯（牛到无法形容的人，你要是不知道，你上过学吗？）高斯最初作过一段时间的测绘工作，（因此搞出了高斯分布和小二乘法，你不知道？你上过大学吗？）于是发现在地面看的直线在塔楼上看不是直的（这种事我也见过，但没敢想那么多。）于是问究竟什么是弯，什么是直(牛人都会犯神经的病，比我严重得多。）想了一下，发现这个问题会影响到许多问题，几何学要重写，（是啊，如果没有直线，还有几何吗，高斯的确是非欧的开山之人）高斯想到这个问题，便没有给答案，但他给出了几何概念的解析定义（就是不用尺量，用向量公式算），于是创立了微分几何。（哎，天天用的东西，不会不行。）因此我们才知道非欧空间中的一个重要特性，三角形的内角合不是180度。（这是真的，在球面上，直线是最短的测地线，角度是测地线微分向量的点积）……并且方法也可以弄到高维去（只要有作标系，有向量就行）。　　

　　这还不算完，不久高斯的学生黎曼问了一更牛的问题（天才教出的天才，也只有天才能教，可惜死的早，没看上inception上映啊。)。高斯只是把图形弄弯了，作标系还是直的。黎曼问，作标系能不能是弯的呢？（你有病啊，如果一般老师一定这么说。）如果作标系是弯的，那长度角度还有什么意义吗？（当时许多人认为黎曼问的不是数学，是哲学。）在梦中，你怎么知道真实，这是一个Inception中哲学问题。在一个曲线作标中，你怎么画直线，这就是把哲学问题转化成了等价的数学问题。于是黎曼在曲线作标上，又搞出了一套东西，就是今天的黎曼流形和黎曼量度。在100多年中，没人理解黎曼的贡献。　　

　　而后影响了电影制作（Inception)，再就是物理上的相对论（你不知道你还是地球人吗？），现在你知道Leo的角有多聪明了吧。（不当聪明，更主要的是有知识，你以为建筑系的天才就是考试分高吗？）你也明白诺兰不只是有想象力，而且非常严谨。（主要是观众普遍知识水平偏低，以为诺兰是玩穿越搞爱情）。但是诺兰的世界中还不仅仅如此。

　　当Leo找老教授要天才帮手时，老教授说给你找个比你还天才的小萝莉。实际上全片中教一个最大的疑问，在后面我将详细分析，就是天才小萝莉究意作了什么。第三段中基本没什么表现。而在第二段中如果你看明白的话，你会发现小萝莉比Leo强出一个数量级。第一，小萝莉学的非常之快。第二，小萝莉潜入到的Leo的内心中。第三，小萝莉第一次玩梦境就把Leo玩崩了。第四点，是小萝莉验证梦的方法：把一个象棋推倒，（注意了：她的方法跟其它人是完全不同的。）所以说小萝莉的梦中世界的几何结构跟其它人完全不相同。诺兰啊，亏你想得出来。是分形 fractal! 让我们来回想下，第二段中，一开始都是别人教小萝莉，当小夢莉向世人展示他将如何弄倒Leo老帅男的时候，小萝莉是这样做的：他把Leo带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，于是在二镜子中出现无穷无尽的人影。诺兰多巧妙啊，这是多美的比喻啊。如果人是真实，镜中像就是梦中像，梦是可以无穷无尽的。更绝的是如果你在镜中一点，如果你将它放大，你将得到一个完整的人。这种嵌套是无限度的。而在每一点上放大，你将得到另一个无穷无尽的世界。这就像在梦中的一点，你将时间一延长，你将得到另一个梦世界。并且这种缩放的比例是一定的，在梦中，缩放的是一个时间量。而在镜中，缩放的是人像的大小。在梦中，取决于人脑的固有性质，而在现实中，取决于两镜面之间的距离。不只在场面上好看，在逻辑上更是绝了。真是绝了，绝了啊！还怎么说啊。

　　当然，导演只是比喻得好，真正产生这个想法的还是玩数学的。说分形fractal就不能不说chaos。第一个想到这个人是庞加莱（太牛，以至于不那么出名）。庞加莱的作用在诺兰的逻辑中不仅如此。一个问题是为什么造梦要找玩建筑的，难道造梦就是盖楼？实际上当然不那么简单。庞加莱提出了相和相空间的概念，因此你可以把世界上的一切都有相空间中的几何结构表示。所以自庞之后的物理中，基本都是几何的方法，如超弦，相对论，没有再用分析的方法了。原因是当然庞加莱玩三体问题的时候玩出了一个结论，分析方法不可能准，会产生巨大的错误，要想弄清楚，就只能用几何。这几乎就是数学中稳定概念的源头，也宣告了分析力学的死期。而在几何方法中，庞也没用微分几何，他更多是用拓朴的观点，称为定性分析。这也就是为什么庞在动力学中名声巨大而留下的问题都是几何拓扑相关的，比如庞加莱猜想。庞其实早就知道chaos那种流形结构的存在。

　　诺兰也许不玩数学，但诺兰一定有一个几何化的世界宇宙观，在《时间简史》能成为畅销书的英国，这不奇怪。如果宇宙是几何的，人当然也是几何，人的思想也逃不出几何结构。所以对于哲学上的问题，你可以用一种几何化的方法类比说明。

　　诺兰片中最想问的问题实际上是对于真实意义的质疑。实际上这也不是诺兰最早问的，在哲学上都问了几百年了，而且近代应有新观点。诺兰最大的贡献是告诉我们这个问题的意义：

　　“人就是一个想法，如果想法一被人替换，就跟把这个人杀死了一样。”

　　实际上片中的Leo是最理解这一点的人。他不仅知道这种想法的威力，也知道这种想法的杀伤力。就是靠这一点，他杀死的是自己的妻子，虽然他是无意的。他只是想知道他是否能把想法植入别人的脑子中，而让他们以为是自己想法而混然不觉。而他想植入的想法就是“让一个人把现实当成梦，而把梦当成现实”，当然他成功了。然后他就悲剧了，妻子就跳楼。

　　实际上leo纠结的不只是对妻子的感情，还有对想法本身的恐惧。因为这个想法的力量大加大了，居然他自己都跑不出来。实际上别人也可以用梦杀死他，他也无能为力。而且他自己也不能断定自己的想法就是真实的，没有被人植入，自己没死。

　　这就是在曲线的作标系中如何画直线的问题。实际上是没有答案的。