高中培优课后的思考3

函数的极值与最值，应该充分让学生掌握与不等式的结合，并理解以下的几个方面：

1、极值：函数f(x)在x=x₀及附近（左右）有定义，如果x₀处的函数值比附近各点的函数值都大，就说f(x₀)是函数y=f(x)的一个极大值；如果x₀处的函数值比附近各点的函数值都小，就说f(x₀)是函数y=f(x)的一个极小值；极大值、极小值统称为极值，x₀为函数的极大（小）值点；

2、几点认识

（1）极值是一个局部概念，由定义知，极值只是某个点的函数值与其附近点的函数值相比较而言的，并不意味着它在整个定义域内最大或最小；

（2）函数的极值未必唯一，即一个函数在某区间上或定义域内极大或极小值可以不止一个；

（3）极大值与极小值间无确定的大小关系，极大值未必大于极小值；

（4）极值点未必是导数值为零的点，还可能是不可导的，但可导函数的极值点一定是导数值为零的点；

（5）极值未必是最值，最值与未必是极值，但一个可导函数在闭区间上的最值一定在极值点或端点处取得；

（6）我们可以说，一个函数在开区间上可导，在闭区间上连续，即闭区间的端点没有导数；另外，“尖点”也不可导，函数y=f(x)，x∈[a、b]，在x₀处有定义但不可导，f(x₀)是极大值，也是定义域内的最大值；同时，f(a)或f(b)却不是极值，但有可能是最小值，得要看谁更小；

     另外，函数f(x)在x₀处有定义却不连续，也不可导，但是极大值点，当然，对此问题而言，也是最大值点；

f(x)在x₀处有定义，但不连续也不可导，此时f(x₀)是极值也是最值；

所以说，极值不一定是最值，最值也不一定是极值，一切只能看情况；

（7）极值的求解过程:

①分析y=f(x)的定义域；②求函数的导数；③求解 =0,设其根为x₁,x₂,…x_n，④列表判断n+1个区间内导数的符号；⑤判断相应的函数值是否为极值，若是，是极大还是极小值；

（8）求可导函数在闭区间[a、b]上的最值

①求出该函数在区间[a、b]上的所有极值；②比较这些极值及两端点的函数值，从而确定最大、最小值；