走出思维误区，迈上成功阶梯

一谈到数学思想方法，有些学生会认为深不可测、高不可攀。其实每一道数学题之中都包含着数学思想方法，例如把分式方程化为整式方程就应用了转化思想，列方程解应用题体现了方程思想，平面直角坐标系中图象与解析式反映了数形结合思想，图形的翻折与旋转则表现了运动变换思想等等.数学思想方法是指导解题的十分重要的方针，有利于培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和组织性.在初三数学的学习过程中，自己不妨把图形动一动、变一变，把条件和结论作一些其它方面的联想，数学化地思考问题.中考题的压轴题往往是在串联几个知识点的同时考查学生猜想与探究、函数与运动、变换与分类等能力，这在能力层面上提出了较高的要求.

中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想.例如，正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等几个概念都可以用函数（特殊的对应）的概念来统一.在初中的解题过程中,学生们经常出现各种不同类型的错误，其中固有审题方面的问题，也有计算方面的问题，但还有很大的一部分是由于这些学生的思维方法上存在各种不同的误区.下面将从几个方面来阐述这几个误区.

一、挣脱束缚，让想象力飞一会

想象力是每个学生最好的天赋，当仅靠简单的逻辑推理不能解决某些未知事物时，这就需要我们充分展开想象的翅膀，以形象思维为突破口，使我们的头脑中充满了生动的画面，为我们展现了一个更为丰富的世界．

在数学解题中，数轴是一个帮助学生丰富形象思维的好工具，特别是在行程问题，追赶问题等方面，画个数轴图像往往会让学生茅塞顿开，将题中的具体内容想象出对应的图像，画出正确的图形，对难题迎刃而解．

案例一：A同学是一个学习认真的学生，但数学与物理这两门功课较弱，特别是数学中的应用题以及物理学中分析受力情况的题目时，他往往无从下笔．老师认为他的思维方式存在着以下问题：数学基础还扎实，对思维要求较低的试题能解答得较好，但思维方式单一，形象思维不丰富，不能有效地借助图解法解题．例如，我们在解行程问题应用题时，往往都是根据已知条件顺着题中的思路去思考。根据路程、速度、时间三者之间的关系去解答.但是，有时遇到的题目就不能用以上的方法.

例1、甲、乙、丙三人同时从Ａ地出发去距Ａ地１００千米的Ｂ地，甲与丙以２５千米／小时的速度乘车行进，而乙却以５千米／小时的速度步行.过了一段时间后，丙下车改以５千米／小时的速度步行，而甲驾车以原速折回，将乙载上而前往Ｂ地，这样甲、乙、丙三人同时到达Ｂ地，此旅程共用了多少小时？

老师建议画图进行分析，以下是在老师的指导下画的线段图：

Ａ地　　　　　　　　　　　　　　Ｂ地

甲

　　　　　　Ｃ　　　　　　　　Ｄ

乙

　丙

                         图1

（假设甲返回接上乙的地点为Ｃ点，丙下车的地点为Ｄ点）从题中条件看，乙和丙都有一段路程步行，一段路程乘车，又同时到达Ｂ地，所以，乙和丙步行的路程相等，乘车的路程也相等.（即ＡＣ＝ＢＣ）

而甲从始至终一直乘车，甲在丙下车后又返回载上乙后，和丙同时到达Ｂ地，所以，甲从返回点（Ｃ点）开始一直到达Ｂ地所走过的路程就是丙步行的路程（ＤＢ）的（２５÷５＝）５倍，而丙和乙所走的路程是相同的.所以，ＣＤ就相当于２个ＤＢ，（即ＣＤ＝２ＤＢ＝２ＡＣ），所以，甲从始至终乘车走过的路程就是两个全程.（即：１００×２＝２００千米）

通过这一事例，我们不难发现，结合图形这一形象思维的想象能更好地分析问题、解决问题．

由于每个学生对同一事件的想象不一样，每一个细节的失误都有可能使学生前功尽弃，所以我们在对学生进行指导时一定要具体、细致，根据学生思维上的漏洞进行有效地弥补，切忌粗线条地指点或简单告诉学生答案了事，一定要让学生真正明白自己的不足，并使用正确的思维方式思考问题．

二、寻找联系，化零为整
     盲人摸象的故事，大家都应该听说过，如果只是片面的看问题，很可能将这个问题看的面目全非，只单凭自己的经验或想象去猜想问题，解决问题，常常就走进了死胡同，无法走出，只有从整体上来看问题，分析问题，解决问题，才能走上光明之路.在我们的数学学习中，也常常会遇见这种情形，如果我们按一般的局部思维方法解答某个问题时，要么比较麻烦，要么就是根本没有办法解决，这时如果将问题看成一个整体，也许可以起到柳暗花明又一村的效果.

    数学思想方法与解题技巧是不同的，在证明或求解中，运用归纳、演绎、换元等方法解题问题可以说是解题的技术性问题，而数学思想是解题时带有指导性的普遍思想方法.在解一道题时，从整体考虑，应如何着手，有什么途径？就是在数学思想方法的指导下的普遍性问题.

某些学生在解答数学习题的过程中，他们习惯于常用的局部思维方法，往往缺乏看整体的眼光，不善于进行整体思维，这是思维方法上的一大缺陷.这种缺陷在我们初中数学的学习中非常常见.

案例二：B同学是一个学习很努力、但思维方法单一的学生，对于新知识、新方法掌握得较慢，如果考试题是平时接触得较多或老师讲得较多类型的习题，她的得分偏高，反之，如果考试题比较新颖或思维度要求比较高，她的得分往往比较低．例如：

例2、 若x=，则x²+2x+1=________．

他在解答这道题时，习惯按常规的局部思维方法将x的值带入到x2+2x+1中，经过一通繁琐的计算之后，终于求出答案，也许这个答案还是错的．在解题过程中，她也意识到该题可能有比较简单的方法，但她想不到要利用整体思维来解决这个问题．老师对她进行了这样的引导：可将要求的式子化为完全平方式的结构后再带值就方便多了.

由于整体思维是从宏观上分析问题、解决问题，学生对于这种思维方法很难把握得住，往往不知从何处入手．因此，在教学上，要有意识地培养学生的这种整体思维的意识，当题目中所给数据较大或计算比较复杂时，一般应该考虑采用整体思维方法．但是不能满足于让学生呆板地模仿，而应该多做变式训练，分析习题的变化，让学生适应各种不同形式习题的解法，以达到让学生能够举一反三的能力．

三、数形结合——解题的捷径

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式．数和形是研究数学的两个侧面，利用数形结合，常常可以使所要研究的问题化难为易，使复杂问题简单化、抽象问题具体化．

部分学生在学习数学时存在着将数与形孤立地看待，在头脑中无法将这两者结合在一起，从而使抽象的数与式的计算或者是非常复杂，或者是根据无法解决．

学生从图象中正确读取信息的能力不强是由于她的思维受限，她头脑中没有在数与形之间架起一座桥梁，难以使得对数与形的认识上互相弥补不足.因此，在教学上，我们要要求学生勤画图，会画图，多训练学生从图中获取有用的信息，帮助学生在数与形之间建立一座桥梁，使学生充分地理解数中有形、形中有数、数形是紧密联系的，从而顺利地解决数形结合的难题．

四、建立适当的数学模型，理清解题思路

列方程解应用题是让很多学生头疼的问题，因为它离不开抽象思维．首先，要将题中表述的各个要素之间的具体关系要转化为抽象的数学表达式，其次要把题中表述的具体的实际问题转化为抽象的数学模型．

在数学建模过程中，采用表格分析法不失为一个良好的选择，从表格中能够分析出各个要素之间的联系，也可以分析出各个要素在不同时间或不同地点之间的变化，才能比较容易列出方程（组）或不等式（组），从而达到解题的目的．

对于一些常见类型的应用题，学生可以采用固定模式、固定套路进行建模，从而顺利地解答，但很多学生并没有真正理解建模的涵义，原因是因为，这些学生抽象思维能力较弱，在他们的头脑中根本就没有构建出建模过程中需要的表格，没有将几个关键的要素有机地联系起来．

案例四、D同学头脑反应速度快，做题速度同样比较快，但应用题是他最为发怵的题型，如果应用题中的要素不多，他可能会解答出来，但如果题中的要素偏多，他就会晕头晕脑，找不到各个要素之间的联系，进入死胡同．

例4、从A,B两水库向甲乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A，B两水库各可调水14万吨，从A地到甲地50千米，到乙地30千米，从B地到甲地60千米，到乙地45千米.设计一个调运方案，使得水的调运量（单位：万吨×千米）尽可能小.

他一见到这种类型的习题，脑袋就懵了，题目中的数据多，牵涉到的数学要素也多，各个要素之间缠夹不清，很难找到这些要素之间的有机联系.老师提醒他：首先应考虑到影响水的调运量的因素有两个，即水量（单位：万吨）和运程（单位：千米），水的调运量是两者的乘积（单位：万吨·千米）；其次应考虑到由A、B水库运往甲、乙两地的水量共4个量，即A--甲，A--乙，B--甲，B--乙的水量，它们互相联系。设从A水库调往甲地的水量为x吨，则有

设水的运量为y万吨·千米，则可以根据表格轻松的得到方程了.

从上述例子可以看出学生在利用表格解应用题时存在主要问题是：当他有了利用表格分析问题的意识之后,但不知怎样把实际问题抽象为一个表格，从而利用这个表格进行分析．针对学生的这一现象，我们在教学中，可以要求学生将所有的要素全部罗列出来，然后将要用到的要素列于表中，将这些看似零散的要素全部统一在同一张表格中.从表格中能比较容易观察并分析到各个要素之间的关系，能够用一个或两个字母把它们表示出来，再根据从题中找到的等量关系列出方程，从而得到正确的答案．

每个学生都具有差异性，学生的思维难免会出现不同的误区，正所谓“一千个人的眼里就有一千个哈姆雷特”但他的思维并不是总停留在这一时刻，数学思维也有顿悟的时候．因此，我们在教学上，要根据教学内容，选择不同的教学方式，结合学生的思维特点，借助电脑动画、数学实验等手段，帮助学生更新思维，借助于图形、表格等方法分析题目，用合适的方法，如化零为整、化归等方法帮助学生进行抽象思维．教学中，在指导学生解题的过程中，帮助学生早日实现数学思维的顿悟，以期待他的数学能力与数学素养实现质的飞跃．

要打赢一场战役，不可能只是勇猛冲杀、一不怕死二不怕苦就可以打赢的，必须制订好事关全局的战术和策略问题。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。一般地，在解题中所采取的总体思路，是带有原则性的思想方法，是一种宏观的指导，一般性的解决方案.