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为什么盘子掉地时总是覆在地上
[ 2007-11-19 8:19:00 | By: zdfzwkc ]
 
    为什么盘子掉地时总是覆在地上?

 

      如果你不小心,使餐桌上的盘子从桌子边缘掉了下去,你会发现盘子在空中翻了180,覆在地上。这是偶然的吗?如果你反复试几次,结果盘子每次掉地时总是覆在地上。你再改用其他的扁平物体,长度大约在1030厘米,比方说书、碟子什么的,如果你轻轻地将它推离桌面,向地上掉下去,它们总是在空中正好翻个个儿,背朝天地覆在地上。这其中难道有什么道理吗?   

下面我们通过建立模型的方法来分析这一现象。  

假设掉地的物体是一个质量均匀的矩形刚体薄片,它的长度为2a,质量为m。由于某种原因,它的重心伸出了桌子的边缘,假设伸出的距离为δ。于是它开始倾斜,即绕着与桌子边缘的接触处发生旋转运动。假设转过的角度为θ,这时的角速度为ω(如图1,本文略)。

我们看到,这时物体的重心位置降低了δsinθ,因此它的重力势能减少了mgδsinθ。这些势能到哪里去了呢?显然,它们转换成了该物体的旋转动能。由刚体力学的知识我们知道,一根绕固定点旋转的质量均匀的长杆,长度为l,质量为M,旋转的角速度为ω。(如图2,本文略),则这根长杆的旋转动能Ek1/2jω21/2[1/12M2a2] ω21/6Ml2ω2。从截面上看,长杆与薄片是没有差别的。这个公式也适用矩形薄片,矩形薄片的动能为    

Ek1/6Mω2a22

根据机械能守恒定律,令其等于薄片损失的势能    

 1/6Mω2a22)=mgδ·sinθ            1 

现在我们假设薄片与桌缘的静摩擦系数足够大,薄片与桌缘间不发生滑动,使a保持不变。于是θ可增大到π/2,至此,薄片已失去任何支撑,它不得不旋转着住下掉。由(1)式,它旋转的角速度

ω6gδ/a22                      2

如果薄片在落地前转过的角度不能超过π,那它可要正面向上地“趴”在地上了。因此要想不发生这样的事,唯一的希望是让它在空中转过的角度能超过π,即

      ωtπ                                  3

    其中t为薄片在空中的时间。现在假设桌子的高度为h,则

t 2h2a/g                        4

 联立(2)、(3)、(4)式求解,我们得到    

12δh2a/a22)>π2             5     

这就是薄片落地时,它的正面向上的必要条件。其中h可取一般桌子的标准高度80cma一般在515cm,但δ却很难把握。它是使得薄片在桌子边缘开始发生旋转运动的临界距离,一般很小,我们只能通过实验测出它。例如,一本长为20cm的书,它的δ小于05mm;一片10cm见方的面包,它的δ大约是075mm;至于一只盘子,不论是瓷的还是密胺的,δ都在01 mm左右。通过计算,它们都不能满足(5)式。因此,当这些物体不小心被推出桌面时,必定是翻个身而覆在地上。                     

 

本文发表于《物理教学探讨》2002年第3P36

 

 

 
 
  • 标签:物理教学研究 
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